Золотое сечение было известно еще в древней Греции. В дошедшей до нас античной литературе упоминание о нем впервые встречается в «Началах» Эвклида.

В XV-XVI вв. среди ученых и художников усилился интерес к золотому сечению в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно архитектуре. В настоящее время эта пропорция также применяется ваятелями и зодчими в зависимости от характера создаваемого ими художественного образа.

Золотое сечение (гармоничное деление, деление в крайнем и среднем отношении) - это деление отрезка на две части, при котором большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью (рис. 161),

Рис. 161. Деление отрезка на части в золотом сечении.

т. е. а:х = х:(а - х).

Чтобы найти х, возьмем квадратное уравнение:

х² + ах - а² = 0, решение которого дает

х = а:2 (√5 - 1) ≈ 0,62а.

Это значит, что части золотого сечения составляют приблизительно 62 и 38% всего отрезка¹.

¹ Дальнейшими исследованиями введена функция золотого сечения, равная:

(√5:2):1 = (2∙24):2 = 1,12.

Золотое сечение может быть выражено в виде дроби: 1:1; 1:2; 2:3; 3:5; 5:8; 8:13; 13:21; 21:34; 34:55; 55:89 и т. д., где 1,1; 2,3; 5,8; 13,21 и т. д. - так называемый ряд Фибоначчи, представляющий такую последовательность чисел, в которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух ему предшествующих. Если строить отрезки в золотом сечении, то величина каждого предыдущего отрезка будет равна сумме двух последующих.

Геометрически золотое сечение отрезка строится так (рис. 162). Из точки В восстанавливают перпендикуляр к АВ, откладывают на нем отрезок BC = ^l/₂ АВ, соединяют точки А и С, откладывают CD = CB и AE = AD. Получаем пропорцию АВ : АЕ = АЕ : ЕВ, которая и будет пропорцией золотого сечения.

Рис. 162. Схема деления отрезка на части в золотом сечении.

Примеры деления квадрата в золотом сечении показаны на рис. 163.

Рис. 163. Схема деления квадрата в золотом сечении.

Метрическая система с ее десятичными подразделениями не совсем точно совпадает с антропометрическими данными в размерах человеческого тела, поэтому многие архитекторы для проектирования ряда предметов мебели разрабатывают модулоры, объединяющие в себе обе зависимости.

На рис. 164 показано сложное построение прямоугольников на основе золотого сечения. Развивающуюся систему прямоугольников строят на отношениях ряда √2, √3, √4, √5 и т. д. Гармоничная связь величин образуется благодаря их свойству распадаться на элементы, повторяющие строение целого при сохранении кратных соотношений сторон.

Рис. 164. Построение системы прямоугольников с отношением сторон 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5 и т.д.

Иной закономерностью обладают величины, участвующие в пропорции, которые не соизмеримы с единицей, т. е. 1:√2; 1:√3 и др. При построении фигур по ним возникает пропорционально убывающий или возрастающий ряд, который даст динамичную композицию.

Связь пропорции √5 и золотого сечения показана на рис. 165. Этому прямоугольнику присуще особое свойство. При членении его полуокружностью по краям образуются прямоугольники в золотом сечении (0,618:1), а посередине - квадрат или два прямоугольника в золотом сечении (0,618:1 и 1:618). Если к первоначальной фигуре прибавить квадрат, то получаются два прямоугольника золотого сечения.

Рис. 165. Связь пропорций √5 и золотого сечения.

Рис. 166 иллюстрирует свойство прямоугольника с размерами сторон 1 и √2 сохранять первоначальную пропорцию при делении его пополам.

Рис. 166. Свойство прямоугольника сохранять первоначальную пропорцию при делении пополам.

Геометрически подобными будут фигуры, построенные на основе ряда натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5 и т. д.) (рис. 167).

Рис. 167. Геометрически подобные фигуры, построенные на основе ряда натуральных чисел.

Если нужно перевести рисунок в нужную соподчиненность размеров, то пользуются пропорциональным циркулем. Он делится на две части и закрепляется подвижным шарниром. Если шарнир закрепить строго на ¹/₂ длины циркуля, то размеры с обеих сторон при любом растворе будут всегда равны (рис. 168, а), т. е. а = b и c = d. Если шарнир закрепить в точке неравных величин, то расстояния между его концами будут разные, но пропорциональные друг другу (рис. 168, б), т. е. a:b = c:d. Исходя из нужной пропорциональности, шарнир закрепляют в определенной точке. На рис. (168, в) показан пропорциональный циркуль, закрепленный в золотом сечении.

Наиболее ясно и убедительно пропорциональность (в мебели, орнаменте и т. д.) выражается при наличии трех частей. Если предмет состоит из четырех и более частей, то ясность пропорциональной соразмерности слабеет, разрушается.

Рис. 168. Пропорциональный циркуль: а - закрепленный на середине длины, б - закрепленный произвольно, в - закрепленный в золотом сечении